Γιατί τα διανύσματα δεν διαιρούνται;
Η ερώτηση εμφανίζεται σχεδόν αναπόφευκτα μόλις κάποιος μάθει πράξεις με διανύσματα:
«Αφού προσθέτουμε και πολλαπλασιάζουμε διανύσματα, γιατί δεν μπορούμε να τα διαιρέσουμε;»
Η απάντηση δεν είναι τεχνική. Είναι εννοιολογική.
➕ Τι σημαίνει «διαίρεση» στα μαθηματικά;
Στους αριθμούς, η διαίρεση δεν είναι ανεξάρτητη πράξη. Ορίζεται ως:
a ÷ b = ο αριθμός που όταν πολλαπλασιαστεί με b δίνει a
Άρα, για να έχει νόημα η διαίρεση:
- πρέπει να υπάρχει πολλαπλασιασμός
- πρέπει να υπάρχει ουδέτερο στοιχείο (το 1)
- και κάθε μη μηδενικό στοιχείο να έχει αντίστροφο
📐 Τι ισχύει στα διανύσματα;
Ένας διανυσματικός χώρος ορίζει:
- πρόσθεση διανυσμάτων
- πολλαπλασιασμό διανύσματος με αριθμό
Δεν ορίζει πολλαπλασιασμό διανυσμάτων μεταξύ τους.
Χωρίς καθολικό πολλαπλασιασμό:
- δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο τύπου «1»
- δεν μπορεί να οριστεί αντίστροφο
- άρα δεν μπορεί να οριστεί διαίρεση
⚠️ «Μα υπάρχει εσωτερικό ή εξωτερικό γινόμενο!»
Πράγματι, υπάρχουν πράξεις όπως:
- το εσωτερικό γινόμενο (v · w)
- το εξωτερικό γινόμενο (v × w)
Όμως:
- το αποτέλεσμα δεν είναι διάνυσμα του ίδιου τύπου
- δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο
- δεν επιτρέπουν ορισμό αντίστροφου
Άρα δεν θεμελιώνουν διαίρεση.
🔍 Γιατί η «διαίρεση διανυσμάτων» είναι επικίνδυνη ιδέα;
Αν επιτρέπαμε διαίρεση διανυσμάτων:
- θα χάναμε τη γεωμετρική ερμηνεία
- θα έπρεπε κάθε διάνυσμα να έχει μοναδικό αντίστροφο
- ο διανυσματικός χώρος θα γινόταν κάτι εντελώς διαφορετικό
Με άλλα λόγια:
η δομή των διανυσμάτων απλώς δεν υποστηρίζει διαίρεση.
📌 Πότε «φαίνεται» ότι διαιρούμε διανύσματα;
Μόνο έμμεσα:
- μέσω συντεταγμένων
- μέσω πινάκων
- μέσω ειδικών αλγεβρών (π.χ. γεωμετρική άλγεβρα)
Αλλά τότε δεν διαιρούμε διανύσματα — διαιρούμε αναπαραστάσεις.
🎯 Το ουσιαστικό συμπέρασμα
Τα διανύσματα δεν διαιρούνται, γιατί η έννοια της διαίρεσης δεν ανήκει στη φύση τους.
Και αυτό δεν είναι περιορισμός — είναι χαρακτηριστικό της μαθηματικής δομής τους.
📘 Όταν αλλάζει η πράξη, αλλάζει και το αντικείμενο.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου