Αριθμοθεωρητικός Γρίφος: Υπόλοιπο διαίρεσης με το 11
Γράφουμε τους αριθμούς από το 1 έως το 9 με την εξής διαδικασία: κάθε ψηφίο γράφεται όσες φορές είναι η τιμή του. Έτσι σχηματίζεται ο 45-ψήφιος αριθμός
A = 122333…999999999
Ερώτημα: Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του A με το 11;
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9
1 σχόλιο:
Το υπόλοιπο της διαίρεσης του A με το 11 είναι 1.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ αριθμός:
A=122333444455555666666777777788888888999999999
έχει συνολικά 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ψηφία.
Άρα η δεξιότερη θέση είναι περιττή.
Για το 11 ισχύει ο κανόνας:
Το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 11 ισούται με τη διαφορά (άθροισμα ψηφίων σε περιττές θέσεις) – (άθροισμα ψηφίων σε άρτιες θέσεις),
modulo 11.
A≡Σπεριττών−Σαρτίων(mod11)
Άθροισμα περιττών αριθμών:
Σ=(1*1)+(3*3)+(5*5)+(7*7)+(9*9)=1+9+25+49+81=165
Άθροισμα αρτίων αριθμών:
Σ=(2*2)+(4*4)+(6*6)+(8*8)=4+16+36+64=120
Διαφορά (κανόνας του 11)
A≡Σπεριττών−Σαρτίων(mod11) === Α=165-120=45
45≡1(mod11)