Ο Arithmokratis φτιάχνει μια ακολουθία αριθμών. Οι πρώτοι δύο αριθμοί είναι 6 και 15. Κάθε επόμενο στοιχείο προκύπτει διαιρώντας τον τελευταίο αριθμό με τον προηγούμενό του και έπειτα πολλαπλασιάζοντας το αποτέλεσμα επί 2.
Έτσι, ο τρίτος αριθμός είναι $\dfrac{15}{6}\cdot 2 = 5$ και ο τέταρτος είναι $\dfrac{5}{15}\cdot 2 = \dfrac{2}{3}$.
Ποιος είναι ο 100ός αριθμός της ακολουθίας;
A) $15$ Β) $5$ Γ) $\dfrac{2}{3}$ Δ) $\dfrac{4}{15}$ Ε) $\dfrac{4}{5}$
100mod6=4=>2/3
ΑπάντησηΔιαγραφήΣωστή απάντηση είναι το (Γ).
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια n≥3:
α(n)=(α(n−)/α(n−2))*2
α1=6
α2=15
α3=(15/6)*2=30/6=5
α4=(5/15)*2=10/15=2/3
α5=(((2/3)/5)*2=(2/15)*2=4/15
α6=((4/15)/(2/3))*2=((3*4)/2*15))*2=(12/30)*2=(24:6)/(30:6)=4/5
α7=((4/5)/(4/15))*2=((4*15)/(4*5))*2=(60/20)*2=3*2=6
α8=((6/(4/5))*2=((5*6)/4)*2=(30*2)/4=60/4=15
Παρατηρούμε ότι μετά από 6 όρους εμφανίζεται το ίδιο μοτίβο:
6, 15, 5, 2/3, 4/15, 4/5, 6, 15, ...
Άρα η περίοδος εμφάνισης του ίδιου μοτίβου εμφανίζεται μετά από κάθε 6 όρους.
Για να βρούμε τον 100ο όρο της ακολουθίας υπολογίζουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης:
100:6=16 και υπόλοιπο 4 (100mod6=4)
Άρα ο 100ος όρος είναι:
α(100)=α(4)=(5/15)*2=10/15=2/3