▪International Mathematics Competition for University Students 2012

19th IMC 2012

Blagoevgrad, Bulgaria

26th July - 1st August 2012

Τα θέματα του διαγωνισμού:

1η Ημέρα

1. Για κάθε θετικό ακέραιο συμβολίζουμε με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα θετικών ακεραίων. π.χ. διότι

Ορίζουμε επίσης . Να δειχθεί ότι ο είναι ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό σαν άθροισμα ακεραίων μεγαλύτερων του .

2. Έστω θετικός ακέραιος . Να υπολογιστεί η μικρότερη δυνατή τάξη ενός πίνακα ο οποίος έχει μηδενικά στην κύρια διαγώνιο και θετικούς πραγματικούς στις υπόλοιπες θέσεις.

3. Για ακέραιο συμβολίζουμε με την ομάδα των μεταθέσεων των αριθμών . Δύο παίκτες και παίζουν το εξής παιγνίδι: Με την σειρά επιλέγουν στοιχεία (ένα κάθε φορά) από την ομάδα . Απαγορεύεται να επιλεχθεί στοιχείο το οποίο έχει επιλεχθεί προηγουμένως. Το παιγνίδι τελειώνει όταν τα επιλεγμένα στοιχεία παράγουν την. Ο παίκτης που κάνει την τελευταία επιλογή χάνει. Η πρώτη επιλογή γίνεται από τον . Ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης;

4. Έστω μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση η οποία ικανοποιεί την συνθήκη για κάθε . Να αποδειχθεί ότι για κάθε .

5. Έστω ρητός και θετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στον δακτύλιο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές.

2η Ημέρα

1. Ο Albert Einstein και ο Homer Simpson παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Με τη σειρά, επιλέγουν ένα συντελεστή και του δίνουν μια πραγματική τιμή. Ο Albert παίζει πρώτος. Κάθε συντελεστής δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί δεύτερη φορά. Το παιχνίδι τελειώνει όταν έχουν δοθεί τιμές σε όλους τους συντελεστές. 

Ο στόχος του Homer είναι να κάνει το να διαιρείται από ένα καθορισμένο πολυώνυμο και του Albert να το αποτρέψει. 

(α) Ποιος από τους δύο έχει στρατηγική νίκης αν ;

(b) Ποιος αν ;

2.Ορίζουμε την ακολουθία 

ως , και

Δείξτε ότι η σειρά

   

συγκλίνει και βρείτε την τιμή της.

3.Είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων για τους οποίους ο αριθμός διαιρεί τον πεπερασμένο ή άπειρο;

4. Έστω ένας ακέραιος. Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί τέτοιοι ώστε 

5.Έστω ένας πραγματικός αριθμός.Έστω επίσης μια αβελιανή ομάδα και ένα πεπερασμένο σύνολο τέτοιο ώστε , όπου 

και  

η πληθικότητα του συνόλου . 

Να δείξετε ότι 

 

για κάθε θετικό ακέραιο .

Πηγή: mathematica