▪Διαγωνισμός επιλογής Εθνικής ομάδας 1987

1. Έστω τρίγωνο $ΑΒΓ$ και μία ευθεία $ε$ που τέμνει τις πλευρές $ΑΒ$ και $ΑΓ$ στα σημεία $Δ$ και $Ε$ αντιστοίχως. Αν το εμβαδόν του τριγώνου $ΑΔΕ$ είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραπλεύρου $ΔΒΓΕ$, τότε να δείξετε ότι:

$\frac{ΑΔ+ΑΕ}{ΔΒ+ΒΓ+ΓΕ}>\frac{1}{3}$.

2. Έστω τρίγωνο $ΑΒΓ$ και σημείο $Ρ$ στο εσωτερικό του. Αν $δ_α, δ_β, δ_γ$ είναι οι αποστάσεις του σημείου $P$ από τις πλευρές $α, β, γ$ αντιστοίχως και $ρ_α, ρ_β, ρ_γ$ οι αποστάσεις του σημείου $Ρ$ από τις κορυφές $Α, Β, Γ$ του τριγώνου αντιστοίχως, τότε να αποδείξετε ότι:

i) $α\cdot{ρ_α} ≥ β\cdot{δ_β} + γ\cdot{δ_γ}$
ii) $ρ_α + ρ_β + ρ_γ ≥ 2(δ_α + δ_β + δ_γ)$.

Ε.Μ.Ε - Διαγωνισμός Επιλογής Εθνικής ομάδας 1987