▪ Δύο εφαρμογές στο Λογισμό των Πιθανοτήτων

Για δύο ενδεχόμενα $Α$ και $Β$ ενός δειγματικού χώρου $Ω$ δίνονται $P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$ και $P(A∩B)=0,2$. Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων:

i) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα $Α$ και $Β$. 

ii) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα $Α$ και $Β$. 

ΛΥΣΗ

i) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα $Α$ και $Β$ είναι το $(A∪B)'$.

Επομένως

$P((A∪B)')=1 - P(A∪B)$

$=1-(P(A)+P(B)-P(A∩B))$

$=1-(0,5 + 0,4 - 0,2)$

$=1 - 0,7$

$=0,3$.

ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα $Α$ και $Β$ είναι το $(Α-Β)∪(Β-A)$. 

Επειδή τα ενδεχόμενα $Α-Β$ και $Β-A$ είναι ασυμβίβαστα, έχουμε:

$P((Α-Β)∪(Β-A))= P(Α-Β)+ P(Β-A))$

$=P(Α)-P(Α∩Β)+P(B)-P(Α∩Β)$

$=P(Α)+P(B)-2P(Α∩Β)$

$=0,5 + 0,4 -2 ·0,2$

$=0,5$.

Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν $P(Α)=0,6$ και $P(B)=0,5$.

i) Να εξεταστεί αν τα $Α$ και $Β$ είναι ασυμβίβαστα.

ii) Να αποδείξετε ότι 

$0,1≤P(A∩ B)≤0,5$. 

ΛΥΣΗ

i) Αν τα $Α$ και $Β$ ήταν ασυμβίβαστα, από τον απλό προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων θα είχαμε:

$P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,6+0,5 = 1,1$

ισχύει, δηλαδή, $P(A∪ B)>1$, που είναι άτοπο. Άρα, τα $Α$ και $Β$ δεν είναι ασυμβίβαστα.

ii) Επειδή $A∩ B⊆B$ και $A∩ B⊆A$, έχουμε

$P(A∩ B)≤P(B)$ και $P(A∩ B)≤P(A)$,

επομένως $P(A∩ B)≤0,5$    (1).

Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε:

$P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B)$

$P(A∪B)=0,6 + 0,5 - P(A∩ B)$

Όμως

$P(A∪B)≤ 1$.

Επομένως:

$0,6 + 0,5 - P(A∩B)≤ 1$

$0,6 + 0,5 -1 ≤ P(A∩B)$

$0,1 ≤ P(A∩B)$   (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι:

$0,1 ≤ P(A∩B) ≤ 0,5$.

Από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου.