Συμμετρικά ως προς το συμμετρικό και παραλληλόγραμμο

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ και ας είναι $H,I,K$ το ορθόκεντρο, το έγκεντρο και το κέντρο του μεσόκυκλου $\left( {D,E,Z} \right)$ (κύκλος Euler του $\vartriangle ABC$) αντίστοιχα. 

Εστω επίσης $G$ το σημείο Nagel του τριγώνου ($G \equiv A{A'_1} \cap B{B'_1} \cap C{C'_1}$, με ${A'_1},{B'_1},{C'_1}$ τα σημεία επαφής των αντιστοίχων παρεγγεγραμμένων κύκλων του $\vartriangle ABC$ με τις πλευρές $BC,CA,AB$). 

1) Αν $I' \equiv IK \cap HG$ να δειχθεί ότι $I'$ το μέσο της $HG$ αλλά και $K$ το μέσο της $II'$ 

2) Το τετράπλευρο $IOGI'$ είναι παραλληλόγραμμο.

Πηγή: mathematica (Στάθης Κούτρας)