▪ Θεώρημα Μέσης Τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[α,β]$, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $ξ ϵ (α,β)$ τέτοιο, ώστε

$\int_α^βf(x)dx=f(ξ)(β-α)$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$F(x)=\int_α^xf(t)dt)$. 

Η συνάρτηση αυτή είναι παραγωγίσιμη στο $[α,β]$ και ισχύει $Fʹ(x) = f(x)$. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχει $ξ ϵ (α,β)$ τέτοιο, ώστε 

$F'(ξ)$=$\frac{F(β)- F(α)}{β-α}$    $(1)$.

Είναι όμως,

$F'(ξ)=f(ξ)$, $F(β)=\int_α^βf(t)dt)$ και $F(α)=\int_α^αf(t)dt=0$.

Επομένως, η ισότητα (1) γράφεται 

$f(ξ)$=$\frac{\int_α^βf(t)dt}{β-α}$

ή ισοδύναμα 

$\int_α^βf(t)dt)=f(ξ)(β-α).$

ΣΧΟΛΙΟ

Ο αριθμός

$f(ξ)$=$\frac{\int_α^βf(x)dx}{β-α}$

λέγεται μέση τιμή της συνάρτησης $f$ στο $[α,β]$ και συμβολίζεται με $\bar{f}$.

Γεωμετρικά, η μέση τιμή $f$ μιας μη αρνητικής συνάρτησης στο διάστημα $[α,β]$ παριστάνει το ύψος του ορθογωνίου που έχει βάση το $[α,β]$ και εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του χωρίου $Ω$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $xʹx$ και τις ευθείες $x = α$ και $x = β$.
Από το σχολικό βιβλίο "Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου".