Έστω μια συνάρτηση $f$, της οποίας η καμπύλη είναι μία παραβολή και η οποία για $x = x_0$ παρουσιάζει μέγιστο. Τότε, για τιμές κοντά στο $x_0$, η συνάρτηση είναι αύξουσα για $x ≤x_0$ και φθίνουσα για $x ≥ x_0$. Αυτό σημαίνει ότι η $f'$ από θετική γίνεται αρνητική, δηλαδή είναι φθίνουσα συνάρτηση. Αφού λοιπόν η f ' είναι φθίνουσα, η παράγωγός της, δηλαδή η $f ''$ θα είναι αρνητική.
Επομένως, $f ''(x_0) < 0$.
Έστω τώρα η συνάρτηση $f$, της οποίας η καμπύλη είναι μια παραβολή και η οποία για $x =x_0$ παρουσιάζει ελάχιστο. Τότε, για τιμές του x κοντά στο $x_0$, η συνάρτηση είναι φθίνουσα για $x ≤ x0$ και αύξουσα για $x ≥ x_0$. Αυτό σημαίνει ότι η $f'$ από αρνητική γίνεται θετική, δηλαδή είναι αύξουσα συνάρτηση. Άρα, η παράγωγος της $f '$, δηλαδή η $f ''$ θα είναι θετική.
Επομένως, $f ''(x_0) > 0$.
Αποδεικνύεται ότι:
Αν για μια συνάρτηση $f$ ισχύουν $f '(x_0) = 0$ και $f ''(x_0) < 0$, τότε η $f $ παρουσιάζει (τοπικό) μέγιστο στο $x_0$.
Αν για μια συνάρτηση $f$ ισχύουν $f '(x_0) = 0$ και $f ''(x_0) > 0$, τότε η $f$ παρουσιάζει (τοπικό) ελάχιστο στο $x_0$.
ΣΧΟΛΙΟ
Αν για μια συνάρτηση $f$ ισχύουν $f '(x_0) = 0$ και $f ''(x_0) = 0$, τότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το κριτήριο της 2ης παραγώγου για τον προσδιορισμό των ακροτάτων της $f$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου