Πολλές φορές στην πράξη παρουσιάζονται προβλήματα, που η λύση τους απαιτεί πορεία αντίστροφη της παραγώγισης. Τέτοια προβλήματα είναι για παράδειγμα τα παρακάτω :
— Η εύρεση της θέσης $S(t)$ ενός κινητού τη χρονική στιγμή $t$, αν είναι γνωστή η ταχύτητά του $υ(t)$ που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης $x = S(t)$.
— Η εύρεση της ταχύτητας $υ(t)$ ενός κινητού τη χρονική στιγμή $t$, αν είναι γνωστή η επιτάχυνσή του $γ(t)$ που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης $υ = υ(t)$.
— Η εύρεση του πληθυσμού $N(t)$ μιας κοινωνίας βακτηριδίων τη χρονική στιγμή $t$, αν είναι γνωστός ο ρυθμός αύξησης $N'(t)$ του πληθυσμού.
Το κοινό χαρακτηριστικό των προβλημάτων αυτών είναι ότι, δίνεται μια συνάρτηση $f$ και ζητείται να βρεθεί μια άλλη συνάρτηση $F$ για την οποία να ισχύει $F'(x) = f(x)$ σε ένα διάστημα $Δ$. Οδηγούμαστε έτσι στον παρακάτω ορισμό.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $Δ$. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο $Δ$ ονομάζεται κάθε συνάρτηση $F$ που είναι παραγωγίσιμη στο $Δ$ και ισχύει
$F'(x) = f(x)$,
για κάθε $x ϵ Δ$.
Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση $F(x) = x^3$ είναι μια παράγουσα της $f(x) = 3x^2$ στο $R$, αφού $(x^3)' = 3x^2$. Παρατηρούμε ότι και όλες οι συναρτήσεις της μορφής $G(x) = x^3 + c = F(x) + c$, όπου $c ϵ R$, είναι παράγουσες της $f$ στο $R$, αφού $(x^3 + c)' = 3x^2$.
Από το σχολικό βιβλίο "Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου".
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου