Ο Ανδρέας, ο Βάσος, ο Γιώργος, ο Δημήτρης και ο Ερμής διάλεξαν από ένα διαφορετικό πρώτο αριθμό. Ο κάθε ένας έκανε την εξής δήλωση:
Ανδρέας: «Ο δικός μου πρώτος αριθμός δεν είναι ούτε ο μεγαλύτερος ούτε ο μικρότερος»
Βάσος: «Ο δικός μου πρώτος αριθμός δεν είναι ούτε ο μικρότερος ούτε ο μεγαλύτερος»
Γιώργος: «Ο δικός μου πρώτος αριθμός είναι ο μικρότερος»
Δημήτρης: «Ο δικός μου πρώτος αριθμός είναι ο μεγαλύτερος»
Ερμής: «Ο δικός μου πρώτος αριθμός δεν είναι ο μεγαλύτερος»
Ακριβώς ένας από αυτούς λέει ψέματα και υπόλοιποι λένε αλήθεια.
Ποιος λέει ψέματα;
IΣΤ΄ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ
ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2015
Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Ο Γιώργος.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι προτάσεις του Ανδρέα και του Βάσου είναι αντιφατικές,
ΑπάντησηΔιαγραφήδιότι δεν υπάρχει ενδιάμεσος αριθμός. Ή μεγάλος θα είναι, ή μικρός. Επειδή ο Γιώργος δηλώνει ότι ο αριθμός του είναι ο μικρότερος συμπεραίνουμε ότι ο Ανδρέας και ο Βάσος έχουν μεγάλους αριθμούς. Ενώ ο Ερμής έχει έναν αριθμό λίγο μεγαλύτερο από τον αριθμό του Γιώργου..Επομένως η πρόταση του Δημήτρη είναι ψευδής.
Αν ο Δημήτρης ψεύδεται, τότε οι υπόλοιποι λένε την αλήθεια. Άρα ο αριθμός του Δημήτρη είναι είτε ο μικρότερος, είτε κάποιος ενδιάμεσος. Όμως ο Γιώργος έχει το μικρότερο, οπότε προκύπτει ότι του Δημήτρη είναι ενδιάμεσος, όπως είναι του Ανδρέα και του Βάρσου. Επομένως ο αριθμός του Ερμή απομένει να είναι ο μεγαλύτερος, πράγμα που αρνείται ο ίδιος και πέφτουμε σε αντίφαση. Άρα ο Δημήτρης αποκλείεται να ψεύδεται.
ΔιαγραφήΤελικά και οι δύο κάναμε λάθος. Ερμής ψεύτδεται.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕκ πρώτης όψεως και μόνον εκ πρώτης όψεως και θεωρώντας ότι οι συγκρίσεις γίνονται μεταξύ των πέντε αριθμών που επέλεξαν τα πέντε άτομα, όλοι φαίνονται αληθείς ή ακριβέστερα δεν στοιχειοθετείται ότι κάποιος λέει ψέμματα. Για όποιον θεωρήσουμε ότι λέει ψέμματα υπάρχει αντίστοιχα άλλος ένας τουλάχιστον που ψεύδεται. (Αν χρειασθεί θα γίνω λεπτομερής σε αυτό).
ΑπάντησηΔιαγραφήΑδιέξοδο λοιπόν και υπάρχει ...πρόβλημα στο πρόβλημα;
Όχι και αφού είναι δεδομένο ότι υπάρχει ένας που λέει ψέμματα, αυτός δεν μπορεί να είναι άλλος από τον Δημήτρη.
Υπάρχει αλήθεια κανένας που να ισχυρισθεί ότι γνωρίζει - και άρα να τον επιλέξει - τον μεγαλύτερο πρώτο αριθμό; : -) Ουδείς...
Ευθύμη, επομένως ο συλλογισμός μου είναι σωστός. Ενώ ως απάντηση στην Ολυμπιάδα δόθηκε ότι ο Ερμής ψεύδεται. Πως έδωσαν λανθασμένη απάντηση;
ΔιαγραφήΤο κρίσιμο σημείο στο πρόβλημα είναι ότι ψεύδεται μόνο ένας ενώ οι υπόλοιποι λένε την αλήθεια.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο άτομο που ψεύδεται δεν μπορεί να είναι ο Α γιατί τότε θα έπρεπε να έχει είτε τον μικρότερο είτε τον μεγαλύτερο από τους πρώτους και επομένως θα έπρεπε να ψεύδεται κι ο Γ ή ο Δ.
Ομοίως, το άτομο που ψεύδεται δεν μπορεί να είναι ο Β.
Δεν μπορεί να είναι ούτε ο Ε γιατί τότε θα ψευδόταν κι ο Δ.
Όπως πολύ σωστά εξήγησε ο Φώτης, το άτομο που ψεύδεται δεν μπορεί να είναι ο Δ γιατί τότε θα έλεγε ψέματα και κάποιος από τους άλλους.
Ο μόνος που μπορεί να είναι ο μοναδικός ψεύτης είναι ο Γ, καθώς ο Ε μπορεί να λέει αλήθεια και να έχει τον μικρότερο από τους πρώτους.
Για του λόγου το αληθές, θα μπορούσαν οι Α ως Ε να έχουν αντίστοιχα τους πρώτους 7, 11, 5, 13, 3.
καλουμε αυτον που εδωσε το προβλημα να δωσει την τεκμηριωμενη απαντηση γιατι φαινεται απο τα σχολια οτι το προβλημα δεν ειναι συμβιβαστο να τηνν δωσει εδω και τωρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πρόβλημα το έχουν θέσει στην 15η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα και είναι διφορούμενο. Αν θεωρήσουμε ότι οι απαντήσεις δεν αφορούν τους συγκεκριμένους πρώτους που έχουν επιλέξει οι πέντε, αλλά οι δηλώσεις τους έχουν γενική ισχύ, τότε η σωστή απάντηση είναι ότι ψέμματα λέει ο Δημήτρης, αφού λόγω της απειρίας των πρώτων είναι αδύνατον να έχει διαλέξει τον μεγαλύτερο. Αυτή είναι και η απάντηση που θεωρεί σωστή η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία. Όμως, αν οι δηλώσεις αναφέρονταν στη σχέση μεταξύ των πρώτων που έχουν επιλέξει (λογικό να το υποθέσουμε όταν όλες οι δηλώσεις ξεκινάνε με το "ο δικός μου πρώτος"), τότε ψέμματα θα έλεγε ο Γιώργος και το πρόβλημα θα ήταν ένα πρόβλημα λογικής.
ΔιαγραφήΟι απόψεις μας ταυτίζονται αγαπητέ Γιώργο.
ΔιαγραφήΤο πρόβλημα ετέθη στην 16η ΚΜΟ το 2015 και ήταν το 22ο πρόβλημα στο δοκίμιο για Γ' Γυμνασίου και Α' Λυκείου.
http://www.cms.org.cy/assets/files/2014-2015/Olympiada-2015/Olympiada-2015-G-Gmnasiou-A-Likeiou.pdf
Στις λύσεις, ως σωστή απάντηση στο πρόβλημα 22, εμφανίζεται η Δ.
http://www.cms.org.cy/assets/files/2014-2015/Olympiada-2015/Liseis-Olympiadas-2015.pdf
Αν δεν έχει γίνει κάποιο τυπογραφικό λάθος και θεωρήσουμε την απάντηση σωστή, η μόνη λογική εξήγηση είναι να μην αναφέρονται οι δηλώσεις των Α, Β, Γ, Δ, Ε στους 5 συγκεκριμένους πρώτους που επιλέξανε.