Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα $Δ$ ενόψει των Πανελλαδικών εξετάσεων 2023 [119]

Δίνεται η συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει:

α. $(e^x +1) f'(x)= e^x(1-f(x))$, για κάθε $x \in R$ και

β. $f(0) = \dfrac{3}{2}$

Δ1. Να βρείτε τον τύπο της $f$.

Δ2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Δ3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες και το σύνολο τιμών της $f$.

Δ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_f$ τον άξονα $y'y$, τον άξονα $x'x$ και την ευθεία $x=1$.

Δ5. Να βρείτε το όριο: 

$\lim_{x \rightarrow -\infty} (xf(x)ημ{\dfrac{π}{x}})$.

Δ6. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της $f^{-1}$.

Δ7. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

$(α+1)eε^χ+2)=(e^χ+1)(α+2)$

έχει μοναδική λύση για κάθε $α>0$

Από το study4exams.gr