Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 40ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και τα σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ώστε .

Αν είναι το μέσο του και το μέσο του , να αποδειχθεί ότι .

ΘΕΜΑ 2

Ο Γιώργος λέει αλήθεια κάποιες μέρες της εβδομάδας και ψέμματα τις υπόλοιπες, ακολουθώντας το ίδιο μοτίβο κάθε εβδομάδα (λέει δηλαδή την αλήθεια τις ίδιες μέρες κάθε εβδομάδας και ψέματα τις υπόλοιπες).

Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας, ο Γιώργος είπε "αύριο θα πω ψέμματα" δύο μέρες και "αύριο δεν θα πω ψέμματα" πέντε μέρες.

Πόσα διαφορετικά μοτίβα υπάρχουν;

ΘΕΜΑ 3

Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος, ώστε ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

ΘΕΜΑ 4

Αν με να αποδείξετε ότι

και να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica