Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2006

Πρόβλημα 1

α) Είναι δυνατόν να τοποθετήσουμε τους αριθμούς $1,2,\dots,13$ κυκλικά έτσι, ώστε το άθροισμα οποιωνδήποτε γειτονικών αριθμών να είναι πρώτος αριθμός;

β) Είναι δυνατόν να το ίδιο με τους αριθμούς $1,2,\dots,16$;

Πρόβλημα 2

Έστω $a, b, c$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε οι αριθμοί \[ k = b^c + a, \quad \lambda = a^b + c, \quad \mu = c^a + b \] να είναι πρώτοι. Να αποδειχθεί ότι τουλάχιστον δύο από τους αριθμούς $k, \lambda, \mu$ είναι ίσοι.

Πρόβλημα 3

Να υπολογισθεί το μήκος $A$ τριγώνου $ABC$, όταν δίνονται ότι τα ύψη του $BA$ και $ΓE$ τέμνονται στο σημείο $H$ του εσωτερικού του τριγώνου και ισχύουν 

$BH = 2BA$ και $HE = HG$.

Πρόβλημα 4

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης \[ K(x,y) = 16 \frac{x^3}{y} + \frac{y^3}{x} - \sqrt{xy}, \] όπου $x, y$ παίρνουν όλες τις επιτρεπόμενες πραγματικές τιμές.

Πηγή: mathematica