Ο Κανόνας του Cramer: Λύση Γραμμικών Συστημάτων

Κανόνας του Cramer

Ο κανόνας του Cramer χρησιμοποιείται για τη λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. 

Έστω το σύστημα: 

$a_1x + b_1y = c_1$

$a_2x + b_2y = c_2$ 

Βήματα 

1. Υπολογισμός της ορίζουσας του \(D\): \[ D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1 \] 2. Υπολογισμός της ορίζουσας \(D_x\): \[ D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1 \] 3. Υπολογισμός ττης ορίζουσας \(D_y\): \[ D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1 \] 4. Οι λύσεις του αυστήματος είναι: \[ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D} \] (υπό την προϋπόθεση ότι \(D \neq 0\)). 

Παράδειγμα

Έστω το σύστημα: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x - y = 7 \end{cases} \] Υπολογίζουμε: 

\(D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 4(3) = -2 - 12 = -14\) \(D_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 7 & -1 \end{vmatrix} = 8(-1) - 7(3) = -8 - 21 = -29\) \(D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} = 2(7) - 4(8) = 14 - 32 = -18\) 

Άρα: \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-29}{-14} = \frac{29}{14}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-18}{-14} = \frac{9}{7} \] Η λύση είναι \(x = \dfrac{29}{14}\), \(y = \dfrac{9}{7}\).