Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [104]

Έστω η πραγματική συνάρτηση \( f \) με τις παρακάτω ιδιότητες:

• Η \( f \) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα \( [0,1] \)
• \( f(0) = f(1) = 0 \).
  

α) Αν \( f(x) \neq 0 \) για \( 0 \leq x \leq 1 \), να αποδειχθεί ότι ο λόγος \( \dfrac{f'}{f} \) παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές, όταν \( x \in (0,1) \).

β) Αν \( |f'(x)| \leq 1 \) για κάθε \( x \in [0,1] \), να αποδειχθεί ότι:\[\int_{0}^{1} x |f(x)| \, dx \leq \dfrac{1}{8}.\]

Επιπλέον, να διερευνηθεί αν μπορεί να ισχύει ισότητα.