Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [4]

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

$\lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{e^{2t} + (x + 1)e^{x + t} + 1 - e^t} \right)= \dfrac{f'(x)}{2(x+1)}, \quad x \neq -1$ και $f(-1) = \dfrac{2}{e}$.

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x) = (x^2 + 1) e^x, \quad x \in \mathbb{R}$

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ με σύνολο τιμών το $(0, +\infty)$.

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κοίλη ή κυρτή και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της $C_f$.

δ) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)(x+1) \le f(x^2) + 2ex$ 

για κάθε $x \ge 1$.

ε) Να αποδείξετε ότι 

$\int_1^2 \dfrac{(x^4 + 1)e^x}{e(x+1)} dx > 3e - 4 - 2 \ln \dfrac{2}{3}$.