Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [5]

Έστω συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια, ώστε:

• $2f^2(1) + f^2(3) \le 2f(1) - f(3)$
• $f'(1) = 2$
• $f''(x) \neq 0$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$

α) Να αποδείξετε ότι η $f$ δεν είναι συνάρτηση 1-1.

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ έχει ένα ακριβώς κρίσιμο σημείο στο $\mathbb{R}$.

γ) Να εξετάσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα και στη συνέχεια να υπολογίσετε το $$\lim_{x \to 1} \frac{\eta \mu(\pi x)}{(x-1)(f(x) - 2x + 2)}$$

δ) Να αποδείξετε ότι 

$\int_0^4 f(x) dx < \int_1^3 f(x) dx$.

ε) Να αποδείξετε ότι $E < (\xi - 1)^2$, όπου $E$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x=1$ και $x=\xi$, με $\xi$ το κρίσιμο σημείο της συνάρτησης $f$.