Του Γιώργου Μιχαηλίδη
Δίνεται η συνάρτηση \(f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) με τύπο: \[ f(x) = e^{x-1} - \ln x \] 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση \(f\) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι είναι κυρτή.
3. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(k \in (1, +\infty)\) να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης: \[ f(x)f(k+1) = f(e^k) \] 4. Θεωρούμε επιπλέον την ευθεία \(\epsilon\) με εξίσωση \(\psi = x\). Να αποδείξετε ότι η \(C_f\) έχει ακριβώς δύο κοινά σημεία με την \(\epsilon\), τα \(A(1,1)\) και \(B(a,a)\), όπου \(a > 1\).
5. Να αποδείξετε ότι:
(i) Υπάρχει μοναδικό \(x_1 \in (1, a)\), ώστε \(f'(x_1) = 1\)
(ii) \(f(x_1) < x_1\)
6. Για τον αριθμό \(a\) του ερωτήματος Δ3 να αποδείξετε ότι: \[ \int_{1}^{a} \ln f(x) \, dx < \dfrac{(a-1)^2}{2} \]
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου