Τριγωνομετρικό Όριο

Nα αποδειχθεί ότι:

Απόδειξη

- Για \(x = 0\), προφανώς ισχύει η ισότητα.

- Για \(x \in (0, \pi/2)\), από το διπλανό σχήμα έχουμε: \[ \sin x = (MM_1) < (MA) < (\text{τοξ } MA) = x. \]

Άρα: \[ |\sin x| < |x|, \quad \text{για κάθε } x \in (0, \pi/2). (1)\] 

- Για \(x \in (-\pi/2, 0)\), είναι \( -x \in (0, \pi/2) \), οπότε λόγω της (1), έχουμε: \[ |\sin(-x)| < |-x|, \quad \text{ή, ισοδύναμα, } |\sin x| < |x|. \] 

- Για \(x \notin (-\pi/2, \pi/2)\), είναι \( |x| \geq \pi/2 > 1 \geq |\sin x|, \) οπότε: \[ |\sin x| < |x|. \]

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει $|ημx| ≤ x$, με την ισότητα να ισχύει μόνο για $x =0$.

Από το σχολικό βιβλίο των μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου.