Ζητούμενο άθροισμα

Ο κύκλος $\omega_1$ με ακτίνα $6$ και κέντρο το σημείο $A$ είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον κύκλο $\omega_2$ με ακτίνα $15$ στο σημείο $B$. 

Τα σημεία $C$ και $D$ βρίσκονται στον κύκλο $\omega_2$ έτσι ώστε το $\overline{BC}$ να είναι διάμετρος του κύκλου $\omega_2$ και $\overline{BC} \perp \overline{AD}$. 

Το ορθογώνιο $EFGH$ είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο $\omega_1$ έτσι ώστε $\overline{EF} \perp \overline{BC}$, το σημείο $C$ να είναι πιο κοντά στην ευθεία $\overline{GH}$ από ότι στην ευθεία $\overline{EF}$ και το σημείο $D$ να είναι πιο κοντά στην ευθεία $\overline{FG}$ από ότι στην ευθεία $\overline{EH}$, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Τα τρίγωνα $\triangle DGF$ και $\triangle CHG$ έχουν ίσα εμβαδά. Το εμβαδόν του ορθογωνίου $EFGH$ είναι $\dfrac{m}{n}$, όπου $m$ και $n$ είναι ακέραιοι θετικοί αριθμοί με το $\gcd(m, n) = 1$. 

Βρείτε το άθροισμα $m+n$.

AIME 2025