Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [13]

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : [0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:  

• $(1 + \eta \mu x)^2 f'(x) = \sigma \upsilon \nu x$, για κάθε $x \in [0, \pi]$ 
• $f(0) = 0$ 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x) = 1 - \dfrac{1}{1 + \eta \mu x}$, $x \in [0, \pi]$.

 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα. 

γ) Να βρείτε το όριο 

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\eta \mu 2x - x}{xf(x)}$. 

δ) Να λύσετε την εξίσωση 

$2f(x) = (2x - \pi) f'(x) + 1$. 

ε) Να εξετάσετε αν η ευθεία $x = \rho$, όπου $\rho$ η ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (δ), χωρίζει το χωρίο $\Omega$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και τον άξονα $x'x$, σε δύο ισεμβαδικά χωρία.