Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [19]

Έστω οι συναρτήσεις 

$f(x) = \alpha \ln x + x + \alpha$ και $g(x) = \dfrac{x \ln x}{x + \alpha}$ 

όπου $\alpha > 0$. 

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x) = 0$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα $\rho$. 

β) Να αποδείξετε ότι 

$g(x) \geq -\dfrac{\rho}{\alpha}$

για κάθε $x > 0$. 

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση $C_g$ της συνάρτησης $g$ έχει ένα μόνο σημείο καμπής. 

δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 

$\alpha(x \ln x - \lambda) = \lambda x$

για τις διάφορες τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$.