Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [15]

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f, g : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, με 

$f(e) = g(1) = 1$, $f(e^{-1}) = -1$ και $g(e) = e^{-1}$

οι οποίες ικανοποιούν τις συνθήκες: 

• $f'(x) = g(x)$, για κάθε $x \in (0, +\infty)$ 
• $xf(x)f'(x) + x^2g^2(x) + x^2f(x)g'(x) = 1$, για κάθε $x \in (0, +\infty)$ 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)g(x) = \dfrac{\ln x}{x}$, $x \in (0, +\infty)$. 

 Αν επιπλέον θεωρήσουμε τη συνάρτηση $h(x) = f(x)g(x)$, $x \in (0, +\infty)$, τότε: 

 β) i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $h$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

 ii) Να αποδείξετε ότι 

$xe \le e^x$

για κάθε $x \in (0, +\infty)$. 

 γ) Να βρείτε: 

 i) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης $C_h$ της συνάρτησης $h$. 

 ii) Την εξίσωση της εφαπτομένης $\varepsilon$ της γραφικής παράστασης $C_h$ της συνάρτησης $h$, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 

 δ) Να βρείτε το εμβαδόν $E$ του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση $C_h$ της συνάρτησης $h$, την εφαπτομένη $\varepsilon$ και την οριζόντια ασύμπτωτη της $C_h$ στο $+\infty$. 

ε) Να βρείτε τις συναρτήσεις $f$ και $g$.