Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [12]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται μια συνάρτηση $f$ συνεχής στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει 

$f(x) = xe^x + \dfrac{x^2}{2} - x + 3\int_0^1 f(t) dt$.

Δ1) Να δείξετε ότι 

$f(x) = xe^x + \dfrac{x^2}{2} - x - 1$.

Δ2) α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x) = 0$ έχει ακριβώς δύο ρίζες $x_1, x_2$ με $-1 < x_1 < 0 < x_2 < 1$.

Στα παρακάτω ερωτήματα οι αριθμοί $x_1$ και $x_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $f(x) = 0$ που αναφέρονται στο ερώτημα Δ2.

Δ3) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο $M(\xi, f(\xi))$, με $\xi \in (0, 1)$, στο οποίο η κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ ισούται με $\dfrac{1}{x_2}$.

Δ4) Αν επιπλέον $F$ και $G$ είναι δύο αρχικές συναρτήσεις της συνάρτησης $f$, να δείξετε ότι

α) $F(x_1) + G(x_2) = F(x_2) + G(x_1)$

β) η εξίσωση 

$F(x) + G(x) = F(x_1) + G(x_2)$ 

έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα $(x_1, x_2)$.

<