Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [14]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται η συνάρτηση $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ με τύπο 

$f(x) = e^x - \ln x - 2$. 

Δ1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε ένα μόνο σημείο $x_0$, με $x_0 \in (0, 1)$. 

Στα παρακάτω ερωτήματα ο αριθμός $x_0$ είναι το σημείο του ερωτήματος Δ1 στο οποίο η $f$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. 

Δ2) Να δείξετε ότι: 

α) το $x_0$ είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης 

$x + lnx = 0$ 

και 

β) $f(x) \ge \dfrac{(x_0 - 1)^2}{x_0}$ για κάθε $x \in (0, +\infty)$. 

Δ3) Αν $E(\lambda)$ είναι το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x = x_0$ και $x = \lambda$, όπου $0 < \lambda < x_0$, να δείξετε ότι 

$\lim_{\lambda \to 0^+} E(\lambda) = \dfrac{(x_0 + 1)(x_0 - 1)^2}{x_0}$. 

Δ4) Αν $0 < \kappa < 1$ να δείξετε ότι 

για κάθε $x > x_0$.