Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [8]

Έστω συνάρτηση $g: [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ για την οποία ισχύει: 

\[(g \circ g)(x) - g(x) = e^x - \ln(x+1) - 1, \quad \text{για κάθε } x \geq 0.\] Α. Να δείξετε ότι η $g$ αντιστρέφεται.

Β. Δίνεται, επίσης, ότι η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0, +\infty)$ με $g'(0) \neq 0$. 

1. Να δείξετε ότι η $g$ δεν έχει ακρότατα στο διάστημα $(0, +\infty)$. 

2. Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_g$ στο $x_0 = 0$. 

3. Να υπολογίσετε το όριο: 

$\lim_{x \to +\infty} g(g(x))$. 

4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$g(g(x)) = 1821$ 

έχει τουλάχιστον μία λύση $x_0$, με $x_0 \in (0, +\infty)$. 

5. Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0, x_0)$ ώστε: 

$x_0 (g'(\xi) + e^\xi - \dfrac{1}{\xi+1}) = 1821$.

Γ. Δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο 

$f(x) = 2x^3 - 3x^2$ 

στο $\mathbb{R}$.

Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

Να λυθεί η ανίσωση: 

$2(g(x) + e^2 - 1)^3 + 3(g(g(x)) + \ln 3)^2 >$

$> 3(g(x) + e^2 - 1)^2 + 2(g(g(x)) + \ln 3)^3.$

Να βρεθούν οι τιμές του $\alpha \in \mathbb{R}$ ώστε η εξίσωση 

$g(g(x)) = f(\alpha)$ 

να είναι αδύνατη.

@maths4people