Οι Βραζιλιάνικοι Αριθμοί και η Εμφάνισή τους στους Μαθηματικούς Διαγωνισμούς

Οι αριθμοί που παρουσιάζουν ενδιαφέρον όταν αναπαρίστανται με την ίδια επαναλαμβανόμενη ψηφιοσειρά σε διαφορετικές βάσεις, γνωστοί ως βραζιλιάνικοι αριθμοί, εμφανίστηκαν για πρώτη φορά σε διαγωνιστικό πλαίσιο στις Ιβηροαμερικανικές Μαθηματικές Ολυμπιάδες του 1994. 

Εκεί ζητήθηκε από τους διαγωνιζόμενους να δείξουν ότι ο αριθμός 1994 είναι βραζιλιάνικος, ενώ ο 1993 όχι.

Παρά το… εξωτικό τους όνομα, οι αριθμοί αυτοί έχουν ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά και μπορούν να γίνουν αντικείμενο έξυπνων παρατηρήσεων και μαθηματικών πειραματισμών.

---

📌 Τι είναι ένας βραζιλιάνικος αριθμός;

Ένας φυσικός αριθμός n λέγεται βραζιλιάνικος αν μπορεί να γραφεί σε κάποια βάση b (με $2 \leq b \leq n - 2$) ως αριθμός που αποτελείται από ίδια ψηφία, π.χ.:

$$n = aaa\ldots a \quad \text{στη βάση} b$$

• Ο 7 γράφεται ως 111 στη βάση 2. Άρα είναι βραζιλιάνικος.

• Ο 13 γράφεται ως 111 στη βάση 3. Επίσης βραζιλιάνικος.

• Ο 1994, όπως προκύπτει, γράφεται ως 11111 στη βάση 398. Δηλαδή:

  $$1\cdot {398}^4+1\cdot {398}^3+1\cdot {398}^2+1\cdot 398+1=1994$$

• Ο 1993, όμως, δεν μπορεί να γραφεί με αυτόν τον τρόπο σε καμία βάση ανάμεσα στο 2 και στο 1991. Άρα δεν είναι βραζιλιάνικος.

---

🎲 Γιατί έχουν ενδιαφέρον;

Οι βραζιλιάνικοι αριθμοί δεν εμφανίζονται τυχαία — συνδέονται με:

• την αναπαράσταση αριθμών σε διαφορετικές βάσεις

• την έννοια της συμμετρίας

• προβλήματα μοναδικότητας και περιοδικότητας

• και φυσικά… με ευρηματικές ερωτήσεις σε μαθηματικούς διαγωνισμούς!

Έχουν προταθεί ως πηγή για προβλήματα λογικής, προτάσεις σε αλγοριθμικούς γρίφους, ακόμα και για τη διδασκαλία του αριθμητικού συστήματος σε μαθητές.

---

❓ Πρόκληση για τους αναγνώστες

Μπορείτε να βρείτε τον μικρότερο βραζιλιάνικο αριθμό που είναι πρώτος και έχει περισσότερες από 3 ίδιες ψηφίες στην αναπαράστασή του;