Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [29]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = \left(x - \dfrac{1}{x}\right) \ln x, x > 0$. 

Δ1) Να αποδείξετε ότι ισχύει: $f \circ h = f$ όπου 

$h(x) = \dfrac{1}{x}, x \in \mathbb{R}^*$. 

Δ2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(0, 1]$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[1, +\infty)$ και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

Δ3) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f(x) = 1$ 

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(0, 1)$. 

Δ4) Να αποδείξετε ότι η μοναδική ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ είναι η κατακόρυφη ευθεία με εξίσωση $x = 0$. 

Δ5) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο ανοικτό διάστημα $(0, +\infty)$. 

Δ6) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με συνεχή παράγωγο $g'$ για τις οποίες ισχύουν: 

• $g(0) = g'(0) = 1$ 
• $g(x)g'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει: 

$f'(g(\eta x^2 + 1)) < f'(g(x^2 + 1))$ 

για κάποιο $\eta \in (0, 1)$.

Από study4exams