Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα για δίωρο μάθημα

 Του Θανάση Κοπάδη  

Δίνονται οι συναρτήσεις $f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ και $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν: 

• $f(x) = \dfrac{\alpha + \ln x}{x}, \alpha \in \mathbb{R}$ 
• $g(x) = e^x$ 
• $\int_0^1 (f \circ g)(x) \, dx = \dfrac{2e - 3}{e}$ 

α) Να δείξετε ότι $\alpha = 1$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. 

δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_f$. 

ε) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $A(\dfrac{1}{e}, 0)$ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων την $C_f$ και την εφαπτομένη αυτή. 

στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 

$I = \int_{1/e}^1 |f(x) - e^2 x + e| \, dx$. 

ζ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$1 + \ln x = \dfrac{g(\ln x)}{2}$ 

έχει δύο ακριβώς λύσεις οι οποίες βρίσκονται στο διάστημα $\left(\dfrac{1}{e}, +\infty\right)$. 

η) Αν $x_1, x_2$, με $ < x_1 < x_2$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης του προηγούμενου ερωτήματος και $E$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την $C_f$ και την ευθεία $y = \dfrac{1}{2}$, τότε να αποδείξετε ότι 

$(x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 4) = 8 \cdot E$. 

θ) Να βρείτε το όριο 

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{5g(x) + 3 \cdot 2^{2x}}{2g(x+1) - 2^{2x+2}}$.