Το Θεώρημα Καραθεοδωρή

Έστω τρίγωνο $AB\Gamma$ και σημείο $O$ στο εσωτερικό του. Αν $E_A, E_B, E_\Gamma$ τα εμβαδά των τριγώνων $BO\Gamma, \Gamma OA, AO B$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι 

$E_A \vec{OA} + E_B \vec{OB} + E_\Gamma \vec{O\Gamma} = \vec{0}.$

Εφαρμογές

1. Έστω $I$ το έγκεντρο τριγώνου $AB\Gamma$. Να αποδείξετε ότι: 

$\alpha \vec{IA} + \beta \vec{IB} + \gamma \vec{I\Gamma} = \vec{0}.$

2. Έστω $O$ σημείο στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου $AB\Gamma$. Αν $d_1, d_2, d_3$ οι αποστάσεις του $O$ από τις πλευρές $B\Gamma, \Gamma A, AB$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: 

$d_1 \vec{B\Gamma} + d_2 \vec{\Gamma A} + d_3 \vec{AB} = \vec{0}.$