Ταυτότητα Αθροίσματος Κύβων: Οπτική Απόδειξη του 1³+2³+...+n³ = (1+...+n)²

Η γνωστή ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα των κύβων των πρώτων n φυσικών αριθμών ισούται με το τετράγωνο του αθροίσματος αυτών των αριθμών:

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left(1 + 2 + 3 + \cdots + n\right)^2.$$

Μπορούμε να γράψουμε τον κάθε κύβο ως γινόμενο:

$$k^3 = k \times k^2,$$

δηλαδή k φορές το τετράγωνο πλευράς k.

Αν τα τοποθετήσουμε στο επίπεδο ως μια στοίβα από k τετράγωνα πλευράς k, θα δούμε πως τα τετράγωνα που προκύπτουν αλληλοκαλύπτονται σε ορισμένα σημεία (🟨), αλλά αφήνουν και κενά (🟥).

Η σημαντική παρατήρηση είναι ότι το συνολικό εμβαδόν των καλυμμένων περιοχών (🟨) ισούται με το συνολικό εμβαδόν των κενών (🟥), δηλαδή οι επικαλύψεις και τα κενά αλληλοεξουδετερώνονται.

Αποτέλεσμα αυτού είναι η συνολική μορφή που προκύπτει να αποτελεί ένα τετράγωνο με πλευρά το άθροισμα:

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$

Έτσι, το άθροισμα των κύβων ισούται με το τετράγωνο αυτού του αθροίσματος:

$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2\mathrm{.}$$