✧ Η Πρόταση 4 του Ευκλείδη: Όταν δύο τρίγωνα είναι ίσα

📘 "Εάν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους ίσες αντίστοιχα, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα σε όλα."

— Ευκλείδης, Στοιχεία, Βιβλίο Ι, Πρόταση 4

 

🧠 Η πρώτη μεγάλη απόδειξη ισότητας τριγώνων

Η Πρόταση 4 είναι θεμέλιο της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Είναι η πρώτη φορά που εισάγεται και αποδεικνύεται ένας γενικός κανόνας για το πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα: όταν έχουν δύο πλευρές ίσες και τη μεταξύ τους γωνία ίση.

📐 Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα;

Αν σε δύο τρίγωνα:

• $AB = DE$
  

• $AC = DF$
  

• και η γωνία $\angle BAC = \angle EDF$
  

τότε:

• $BC = EF$
  

• τα τρίγωνα είναι ίσα κατά αντιστοιχία

• οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες

📜 Απόδειξη (ΠΓΠ)

1. Τοποθετούμε το ένα τρίγωνο πάνω στο άλλο, με τις ίσες πλευρές και γωνίες να συμπίπτουν.

2. Βλέπουμε ότι τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν πλήρως (δε δημιουργείται χώρος μεταξύ των πλευρών).

3. Άρα όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.

✅ Συμπέρασμα

Αυτή η πρόταση είναι η πρώτη θεμελιώδης πρόταση ισότητας τριγώνων και βρίσκεται στη βάση πολλών γεωμετρικών αποδείξεων. Είναι γνωστή και ως κριτήριο πλευρά-γωνία-πλευρά (ΠΓΠ).