Ορίζουμε μια συνάρτηση \[ f : [0, 1] \to [0, 1] \] ως εξής: Για κάθε πραγματικό αριθμό \( x \in [0, 1] \), γράφουμε τη $\textbf{δυαδική}$ του αναπαράσταση (σε άπειρο ανάπτυγμα αν χρειαστεί), και στη συνέχεια ερμηνεύουμε αυτό το δυαδικό ανάπτυγμα ως δεκαδικό αριθμό.
Παράδειγμα: \[
x = \frac{1}{3} = 0{.}0101010101\dots_2
\]
Η δυαδική αυτή αναπαράσταση, όταν θεωρηθεί ως δεκαδικός αριθμός (δηλαδή \( 0{.}0101010101\dots_{10} \)), είναι
\[
f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{99}.
\] Ερώτηση: Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος
\[
\int_0^1 f(x) \, dx\;?
\]
Μπορείτε να υποθέσετε ότι η \( f \) είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann --- πράγμα που ισχύει επειδή έχει μόνο αριθμήσιμες ασυνέχειες.
Πηγή: Το πρόβλημα εμφανίστηκε ως το Πρόβλημα 6 στον $\textbf{Μαθηματικό Διαγωνισμό του Πανεπιστημίου του Ιλινόις}$ (UIUC) το 2014.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου