🔄 Από Δυαδικό σε Δεκαδικό: Μια Ασυνήθιστη Συνάρτηση

Ορίζουμε μια συνάρτηση \[ f : [0, 1] \to [0, 1] \] ως εξής: Για κάθε πραγματικό αριθμό \( x \in [0, 1] \), γράφουμε τη $\textbf{δυαδική}$ του αναπαράσταση (σε άπειρο ανάπτυγμα αν χρειαστεί), και στη συνέχεια ερμηνεύουμε αυτό το δυαδικό ανάπτυγμα ως δεκαδικό αριθμό.

Παράδειγμα: \[ x = \frac{1}{3} = 0{.}0101010101\dots_2 \] Η δυαδική αυτή αναπαράσταση, όταν θεωρηθεί ως δεκαδικός αριθμός (δηλαδή \( 0{.}0101010101\dots_{10} \)), είναι \[ f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{99}. \] Ερώτηση: Ποια είναι η τιμή του ολοκληρώματος \[ \int_0^1 f(x) \, dx\;? \] Μπορείτε να υποθέσετε ότι η \( f \) είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann --- πράγμα που ισχύει επειδή έχει μόνο αριθμήσιμες ασυνέχειες. 

Πηγή: Το πρόβλημα εμφανίστηκε ως το Πρόβλημα 6 στον $\textbf{Μαθηματικό Διαγωνισμό του Πανεπιστημίου του Ιλινόις}$ (UIUC) το 2014.