Μια Ακόμα Τριγωνομετρική Απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος

John Molokach
Έστω α μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές a, b και υποτείνουσα c, τέτοια ώστε

$$\cos \alpha = \frac{a}{c} \quad \text{και} \quad \sin \alpha = \frac{b}{c}.$$

Ξεκινάμε με την ταυτότητα διαφοράς γωνιών:

$$\cos \alpha = \cos(2\alpha - \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha \sin \alpha,$$

που συνεπάγεται

$$\cos 2\alpha = \frac{\cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha}{\cos \alpha}.$$

Χωρίς να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορούμε να αποδείξουμε γεωμετρικά ότι

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha,$$

Αντικαθιστώντας, έχουμε

$$\cos 2\alpha = \frac{\cos \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha} = 1 - 2 \sin^2 \alpha.$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha.$$ $$1 - 2 \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha,$$ $$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1.$$