🌀 Μια ημιτονοειδής σύμπτωση; Ή μήπως κάτι βαθύτερο;

Θεωρήστε τις παρακάτω δύο μαθηματικές εκφράσεις για κάθε ακέραιο \( n \ge 2 \):

• \( a(n) = \left\lceil \dfrac{n}{\pi} \right\rceil \)
• \( b(n) = \left\lceil \dfrac{1}{\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)} \right\rceil \)

Οι αντίστοιχες ακολουθίες ξεκινούν ως εξής:

\( a(n):\ \ \ \ \ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6,\ldots \)

\( b(n):\ \ \ \ \ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6,\ldots \)

Στο \( n = 3 \), παρατηρείται διαφορά:

• \( \left\lceil \dfrac{3}{\pi} \right\rceil = 1 \)
• \( \left\lceil \dfrac{1}{\sin(\pi/3)} \right\rceil = 2 \)

Μα από το \( n = 4 \) και μετά, φαίνεται πως οι δύο εκφράσεις συμπίπτουν απόλυτα.

Πρόκειται για αριθμητική σύμπτωση; Ή υπάρχει κάτι πιο βαθύ;

Η απάντηση βρίσκεται στις προσεγγίσεις της ημιτονοειδούς συνάρτησης για μικρές γωνίες:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n} \quad \text{για μεγάλα } n \Rightarrow \frac{1}{\sin(\pi/n)} \approx \frac{n}{\pi} \]

Έτσι, οι τιμές των δύο εκφράσεων γίνονται τόσο κοντά που η στρογγυλοποίησή τους προς τα πάνω (Ceiling) δίνει το ίδιο ακέραιο αποτέλεσμα για κάθε \( n \ge 4 \).

---

🔍 Συμπέρασμα:

Οι δύο ακολουθίες είναι ίσες για κάθε \( n \ge 4 \).

Διαφέρουν μόνο στο \( n = 3 \). Καθόλου τυχαίο!