Πόσα Μετάλλια Χρειάζεσαι για να Ολοκληρώσεις τη Συλλογή; Η Μαθηματική Απάντηση Θα σε Εκπλήξει!

Κατά τη διάρκεια του Παγκοσμίου Κυπέλλου, ένα τοπικό σούπερ μάρκετ διοργάνωσε μια προωθητική ενέργεια: κάθε φορά που οι πελάτες ξόδευαν ένα συγκεκριμένο ποσό, έπαιρναν ένα δωρεάν μετάλλιο με το πρόσωπο ενός από τους 22 παίκτες της εθνικής ομάδας της Αγγλίας.

🪙 Η πρόκληση ήταν απλή: Μπορείς να μαζέψεις και τα 22 διαφορετικά μετάλλια;

Ας υποθέσουμε ότι κάθε φορά που παίρνεις ένα μετάλλιο, αυτό είναι τυχαίο και ισοπίθανο ανάμεσα στα 22 διαθέσιμα.

🤔 Πόσα πρέπει να συλλέξεις κατά μέσο όρο για να αποκτήσεις το πλήρες σετ;

Αυτό είναι γνωστό στα μαθηματικά ως το Πρόβλημα του Συλλέκτη Κουπονιών (Coupon Collector’s Problem). Η λύση του είναι απλή αλλά όχι διαισθητική:

Ο αναμενόμενος αριθμός προσπαθειών για να μαζέψεις όλα τα διαφορετικά αντικείμενα είναι:

$$E(n) = n \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}\right)$$

Για $n = 22$:

$$E(22)\approx 22\cdot (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{22})\approx 81$$

---

🎯 Άρα...

👉 Κατά μέσο όρο θα χρειαστείς περίπου 81 μετάλλια για να αποκτήσεις ολόκληρη τη συλλογή!