Φανταστείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές \(g\) και \(h\). Μια γραμμή το χωρίζει σε δύο μικρότερα τρίγωνα, το Ι (πάνω) και το ΙΙ (κάτω).
Η Υπόθεση του Κεν ισχυρίζεται ότι ο λόγος των εμβαδών τους είναι \[ \frac{\text{εμβαδόν Ι}}{\text{εμβαδόν ΙΙ}} = \left( \frac{g}{h} \right)^3. \] Μετά από προσεκτικούς υπολογισμούς, αποδείχτηκε ότι ισχύει! $\checkmark$
Η γραμμή που χωρίζει τα τρίγωνα πρέπει να βρίσκεται σε ύψος \[ k = \frac{g h^{3/2}}{\sqrt{g^3 + h^3}}, \] δημιουργώντας όμοια τρίγωνα.
Το εμβαδόν του ΙΙ είναι \[ \frac{g h^4}{2(g^3 + h^3)}, \] και του Ι είναι \[ \frac{g^4 h}{2(g^3 + h^3)}, \] οδηγώντας στον επιθυμητό λόγο \(\left( \dfrac{g}{h} \right)^3\).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου