Κανόνας του Leibniz για την n-οστή παράγωγο γινομένου

Ο κανόνας του Leibniz είναι ένας γενικός τύπος για την παράγωγο n-οστής τάξης του γινομένου δύο συναρτήσεων.

Αν έχουμε δύο συναρτήσεις f(x) και g(x) που είναι αρκετά φορές παραγωγίσιμες, τότε η n-οστή παράγωγος του γινομένου f(x)⋅g(x) δίνεται από τον εξής τύπο:

\[ \frac{d^n}{dx^n}[f(x) \cdot g(x)] = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(x) \cdot g^{(n-k)}(x) \]

όπου:

• f^(k)(x) είναι η k-οστή παράγωγος της f(x),
• g^(n−k)(x) είναι η (n−k)-οστή παράγωγος της g(x),
• \(\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) είναι ο δυωνυμικός συντελεστής.

Παράδειγμα για n=2 (δεύτερη παράγωγος):

\[ \frac{d^2}{dx^2}[f(x) \cdot g(x)] = \binom{2}{0} f^{(0)}(x) g^{(2)}(x) + \binom{2}{1} f^{(1)}(x) g^{(1)}(x) + \binom{2}{2} f^{(2)}(x) g^{(0)}(x) \]

\[ = f(x) g''(x) + 2 f'(x) g'(x) + f''(x) g(x) \]