🧨 Απόδειξη ότι y = 0 (ή Πώς να Μη Χρησιμοποιείτε τον Κανόνα της Αλυσίδας)

Ας δούμε μια μαθηματική "απόδειξη" που φαίνεται πειστική — αλλά στην πραγματικότητα είναι τελείως λάθος. Πρόκειται για ένα παράδειγμα ψευδο-απόδειξης, από αυτές που διασκεδάζουν αλλά και διδάσκουν.

Ορίζουμε τη συνάρτηση:

  f(x, y) = (x + y)²

Κάνουμε αλλαγή μεταβλητών:

  x = uv, y = u + v

Άρα: f(u, v) = (uv + u + v)² = (x + y)²

Τώρα, ας υπολογίσουμε το ∂f/∂v, χρησιμοποιώντας τον Κανόνα της Αλυσίδας:

$$\frac{∂f}{∂v} = \frac{∂f}{∂x} \cdot \frac{∂x}{∂v} + \frac{∂f}{∂y} \cdot \frac{∂y}{∂v}$$

Αλλά:

• $\frac{∂f}{∂x} = 2(x + y)$
  

• $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=2(x+y)$

• $\frac{∂x}{∂v} = u$
  

• $\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }v}=1$

Άρα:

$$\frac{∂f}{∂v} = 2(x + y) \cdot u + 2(x + y) \cdot 1 = 2(x + y)(u + 1)$$

Όμως αν κάνεις λάθος και πεις ότι:

• $\frac{∂x}{∂v} = -1$,

• $\frac{∂y}{∂v} = +1$,
  τότε φτάνεις σε:

$$\frac{∂f}{∂v} = 2(x + y)(-1) + 2(x + y)(1) = 0$$

Από την άλλη, άμεσα από τον ορισμό:

  f(u,v) = (u + v)² = y²,

οπότε:
                                         $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }v}=2(u+v)=2y$

Συνεπώς:

  2y = 0 ⇒ y = 0

🧨 Άρα αποδείξαμε ότι… y = 0. Πάντα!