🔢 Υπάρχει Περιττός Τέλειος Αριθμός; Μια Αναζήτηση 2.000 Χρόνων

Οι τέλειοι αριθμοί είναι ένας από τους πιο μαγευτικούς και αρχαίους τομείς της θεωρίας αριθμών. Ένας θετικός ακέραιος λέγεται τέλειος όταν ισούται με το άθροισμα όλων των κατάλληλων διαιρετών του, δηλαδή των θετικών διαιρετών του εκτός από τον ίδιο τον αριθμό.

➤ Παραδείγματα:

• $6 = 1 + 2 + 3$
  

• $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$
  

• $496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248$
  

Οι πρώτοι τέλειοι αριθμοί είναι: 

$6,28,496,8.128,33.550.336,...$

Αξιοσημείωτο είναι ότι όλοι οι γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι άρτιοι. Ο Ευκλείδης απέδειξε ήδη από την αρχαιότητα ότι αν ο αριθμός 

$2^{p-1}(2^p - 1)$ είναι ακέραιος, όπου το $2^p - 1$ είναι πρώτος του Μερσέν, τότε ο αριθμός αυτός είναι τέλειος. Ο Euler αργότερα απέδειξε ότι όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί έχουν αυτήν ακριβώς τη μορφή.

---

❗ Αλλά τι γίνεται με τους περιττούς τέλειους αριθμούς;

Παρά εκτεταμένες έρευνες που έχουν εξετάσει αριθμούς μέχρι και το $10^{2200}$ (δηλαδή αριθμούς με περισσότερα από 2.200 ψηφία!), ουδέποτε βρέθηκε ούτε ένας περιττός τέλειος αριθμός.

✅ Σήμερα, το ερώτημα αν υπάρχει έστω και ένας περιττός τέλειος αριθμός παραμένει ένα από τα παλαιότερα άλυτα προβλήματα των μαθηματικών, με ιστορία που ξεπερνά τα 2.000 χρόνια.