Φτιάξε τον δικό σου υπερβατικό αριθμό — Μια μαθηματική περιπέτεια!

🔷 Πώς να Φτιάξετε έναν Υπερβατικό Αριθμό

...και να του δώσετε και το όνομά σας!

Αν έχετε ποτέ αναρωτηθεί πόσο δύσκολο είναι να δημιουργήσει κανείς έναν υπερβατικό αριθμό, η απάντηση θα σας εκπλήξει: όχι και τόσο!

---

📌 Τι είναι οι υπερβατικοί αριθμοί;

Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι πραγματικοί (ή μιγαδικοί) αριθμοί που δεν είναι ρίζες καμίας μη μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.

Με απλά λόγια: δεν λύνονται από πολυώνυμα όπως π.χ. η εξίσωση $x^2 - 2 = 0$, η οποία έχει ρίζα τον $\sqrt{2}$​, έναν αλγεβρικό αλλά όχι υπερβατικό αριθμό.

Διάσημοι υπερβατικοί αριθμοί είναι:

• Το π

• Ο αριθμός e (βάση των φυσικών λογαρίθμων)

• Το π+e (πιθανό να είναι υπερβατικός, αλλά δεν έχει αποδειχθεί μέχρι σήμερα.)

---

❗ Γιατί είναι τόσο σπάνιοι και τόσο συχνοί ταυτόχρονα;

Το εκπληκτικό είναι ότι:

Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι σχεδόν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί!

Κι όμως, γνωρίζουμε ελάχιστους επώνυμους. Τόσο δύσκολη είναι η απόδειξη ότι ένας αριθμός είναι υπερβατικός.

Κι όμως… υπάρχει ένας έξυπνος και απλός τρόπος να κατασκευάσετε έναν υπερβατικό αριθμό με εγγύηση.

---

🛠️ Πώς να κατασκευάσετε τον δικό σας υπερβατικό αριθμό

Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα για να δημιουργήσετε έναν αριθμό που θα είναι σίγουρα υπερβατικός — και μπορείτε να του δώσετε και το όνομά σας!

✅ Βήμα 1: Πάρτε μια ακολουθία θετικών ακεραίων που αυξάνεται πολύ γρήγορα

Παράδειγμα:

$a_n = n!$

ή ακόμα πιο γρήγορα:

$a_n = 10^{n!}$

✅ Βήμα 2: Φτιάξτε τον δεκαδικό αριθμό με ψηφία 1 στις αντίστοιχες θέσεις

Δηλαδή, ο αριθμός σας θα έχει μορφή:

$0.000…01  0000…01  000000…01  …0.000\ldots01\;0000\ldots01\;000000\ldots01\;\ldots$

όπου το 1 εμφανίζεται μόνο στις θέσεις $a_1, a_2, a_3, \ldots$ και παντού αλλού έχει 0.

Για παράδειγμα, αν χρησιμοποιήσετε τη σειρά $1!,2!,3!,4!,\dots$, τότε το 1 θα βρίσκεται στις θέσεις 1, 2, 6, 24, 120, 720 κ.ο.κ.

Ο αριθμός αυτός είναι μεταβατικός και μη περιοδικός, αλλά κυρίως είναι υπερβατικός — χάρη σε ένα θεώρημα του Borel (ή μέσω πιο σύγχρονων τεχνικών ανάλυσης).

📚 Μικρή ιστορική αναφορά

Η υπερβατικότητα του $\pi$ αποδείχθηκε από τον Ferdinand von Lindemann το 1882. Με αυτή την απόδειξη, εδραιώθηκε και η αδυνατότητα τετραγωνισμού του κύκλου με μόνο κανόνα και διαβήτη — ένα πρόβλημα που απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες για αιώνες.