Σύστημα Εξισώσεων με Γεωμετρικά Σχήματα

Να λυθεί το σύστημα:

Αυτό είναι ένα ενδιαφέρον σύστημα εξισώσεων! Ας το λύσουμε βήμα προς βήμα.

Λύση

Έχουμε τις εξής εξισώσεις:

$a^2+a(b+c)=6$

$b^2+b(a+c)=12$

$c^2+c(a+b)=18$

Θέλουμε να βρούμε την τιμή του $(a+b+c)^2$. Αν αναπτύξουμε κάθε εξίσωση έχουμε:

$a^2+ab+ac=6$

$b^2+ba+bc=12$

$c^2+ca+cb=18$

Παρατηρούμε ότι όλες οι εξισώσεις έχουν μέρος της ανάπτυξης του $(a+b+c)^2$. Προσθέτουμε τις τρεις εξισώσεις:

$(a^2+ab+ac)+(b^2+ba+bc)+(c^2+ca+cb)=6+12+18 $

$a^2+b^2+c^2+ab+ac+ba+bc+ca+cb=36$

$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=36$

Αυτό είναι ακριβώς το ανάπτυγμα του $(a+b+c)^2$ :

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

Επομένως, $(a+b+c)^2=36.$

Η τιμή της παράστασης $(a+b+c)^2$ είναι $36$.