Μια όμορφη πολική συνάρτηση με τριπλή συμμετρία και κυματισμούς

Σήμερα παρουσιάζουμε μια εντυπωσιακή συνάρτηση $z = z(r, \theta)$ που συνδυάζει εκθετική απόσβεση, κυματισμούς και συμμετρία στο επίπεδο:

$$\boxed{ z = e^{-r^2} \left( \sin(6\pi r) - r \cos(3\theta) \right) }$$

​Τι συμβαίνει εδώ;

• Το $r$ είναι η απόσταση από το κέντρο (το πόσο μακριά βρισκόμαστε από το σημείο $(0,0)$),

• Το $\theta$ η γωνία, μετρούμενη σε ακτίνια,

• Το $e^{-r^2}$ «σβήνει» γρήγορα τη συνάρτηση καθώς απομακρυνόμαστε από το κέντρο,

• Το $\sin(6\pi r)$ δημιουργεί κυματιστές δακτυλιοειδείς δομές,

• Το $\cos(3\theta)$ δίνει ένα μοτίβο με τριπλή συμμετρία, σαν τρία πέταλα.

Η συνάρτηση περιγράφει έτσι μια επιφάνεια που μοιάζει με λουλούδι με 3 πέταλα που κυματίζει και εξαφανίζεται όσο απομακρύνεσαι από το κέντρο.

---

Μετατροπή σε καρτεσιανές συντεταγμένες

Αν προτιμάτε να δουλέψετε με $x,y$ αντί για πολικές συντεταγμένες:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan2(y, x)$$

και τότε:

$$z(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} \left( \sin(6\pi \sqrt{x^2 + y^2}) - \sqrt{x^2 + y^2} \cos(3 \arctan2(y, x)) \right)$$

Εφαρμογές και ομορφιά

Αυτού του τύπου οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται σε μαθηματικά, φυσική και μηχανική για να μελετήσουμε φαινόμενα με κυματισμούς, συμμετρίες και τοπική συμπεριφορά (όπως κύματα, πεδία, ή δονήσεις).