🔷 Υπολογισμός Εμβαδού Πολυγώνου από Συντεταγμένες

 Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός πολυγώνου όταν γνωρίζουμε μόνο τις συντεταγμένες των κορυφών του; Υπάρχει ένας απλός αλλά πανέξυπνος μαθηματικός τύπος που μας το επιτρέπει, χωρίς ανάγκη για ύψη ή γωνίες. Αυτός ο τύπος είναι γνωστός ως Shoelace Formula ή τύπος των κορδονιών, και λειτουργεί για κάθε απλό πολύγωνο, από τρίγωνα μέχρι πεντάγωνα και πέρα.

---

🕰️ Λίγη Ιστορία

Η “Shoelace Formula” εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην πρακτική γεωμετρία και γεωδαισία τον 18ο και 19ο αιώνα. Οι τοπογράφοι τη χρησιμοποιούσαν για να βρίσκουν το εμβαδόν χωραφιών, μετρώντας μόνο τις συντεταγμένες των γωνιακών σημείων.

Το όνομα “shoelace” (κορδόνια) προέρχεται από τον τρόπο που γράφεται ο τύπος: αν πολλαπλασιάσεις τις συντεταγμένες κάθε κορυφής διαγώνια με τις επόμενες, σχηματίζεις ένα "πλέγμα" που μοιάζει με δεμένα κορδόνια.

---

📐 Ο Τύπος του Εμβαδού

Αν έχουμε ένα πολύγωνο με $k$ κορυφές με γνωστές συντεταγμένες:

$$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_k,y_k)$$

τότε το εμβαδόν $A$ δίνεται από τον τύπο:

$$A=\frac{1}{2}\mid \sum _{i=1}^k(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)\mid$$

❗ Σημαντική σημείωση:

Για να "κλείσει" το πολύγωνο, θεωρούμε συμβολικά ότι η επόμενη κορυφή μετά την τελευταία είναι η πρώτη:

$$(x_{k+1},y_{k+1}):=(x_1,y_1)$$

Αυτό επιτρέπει στον τύπο να υπολογίσει και την τελευταία πλευρά (από την τελευταία κορυφή πίσω στην πρώτη) χωρίς ξεχωριστή αντιμετώπιση. Είναι σαν να λέμε: "Πηγαίνουμε γύρω-γύρω, και στο τέλος ξαναπιάνουμε την αρχή".

---

🧮 Παράδειγμα 1: Εμβαδόν Τριγώνου

Δίνεται τρίγωνο με κορυφές:

• $A = (2, 1)$
  

• $B = (4, 5)$
  

• $C = (7, 2)$
  

Εφαρμόζουμε τον τύπο:

$$A=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }2\cdot 5+4\cdot 2+7\cdot 1-(1\cdot 4+5\cdot 7+2\cdot 2)\mathrm{\mid }$$$$=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }10+8+7-(4+35+4)\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }25-43\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}\cdot 18=9$$

✅ Το εμβαδόν είναι 9 μονάδες².

---

🔷 Παράδειγμα 2: Εμβαδόν Τετραπλεύρου

Έστω τετράπλευρο με κορυφές:

• $A = (1, 2)$
  

• $B = (4, 5)$
  

• $C = (7, 8)$
  

• $D = (2, 7)$
  

Εφαρμογή του τύπου:

$$A=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }1\cdot 5+4\cdot 8+7\cdot 7+2\cdot 2-(2\cdot 4+5\cdot 7+8\cdot 2+7\cdot 1)\mathrm{\mid }$$$$=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }5+32+49+4-(8+35+16+7)\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\mid }90-66\mathrm{\mid }=12$$

✅ Εμβαδόν: 12 μονάδες².

---

📊 Πλεονεκτήματα του Τύπου

• Λειτουργεί για οποιοδήποτε απλό πολύγωνο.

• Δεν απαιτεί υπολογισμό γωνιών ή υψών.

• Είναι ιδανικός για υπολογιστικά προγράμματα, γεωμετρικές εφαρμογές, GPS, ρομποτική, και γεωδαισία.

• Εφαρμόζεται εύκολα ακόμα και με Excel ή Python.

---

🧠 Πρόκληση

Δοκιμάστε να βρείτε το εμβαδόν του πενταγώνου με κορυφές:

$$(0,0),\ (4,0),\ (5,3),\ (2,5),\ (-1,2)$$

Πόσες μονάδες² είναι το εμβαδόν;