Το αμφιλεγόμενο μαθηματικό δώρο της λογιστικής συνάρτησης

Όταν ο Pierre François Verhulst εισήγαγε για πρώτη φορά τη λογιστική συνάρτηση το 1838, δεν μπορούσε να φανταστεί πόσο σημαντικό ρόλο θα έπαιζε στην κατανόηση της αύξησης πληθυσμών, στην οικολογία, στην ιατρική, ακόμα και στα οικονομικά μοντέλα. Η συνάρτηση αυτή, που προέκυψε ως λύση σε προβλήματα αύξησης πληθυσμών, βρέθηκε να είναι τόσο χρήσιμη όσο και… αμφιλεγόμενη.

Τη δεκαετία του 1950, η λογιστική συνάρτηση δίχασε την κοινότητα της στατιστικής.

---

Μια ιστορική αφετηρία: Ο Τόμας Μάλθους

Το 1798, ο Άγγλος κληρικός και μελετητής Τόμας Μάλθους στο έργο του «Δοκίμιο για την Αρχή του Πληθυσμού» διατύπωσε την ιδέα ότι οι πληθυσμοί αυξάνονται γεωμετρικά, ενώ οι πόροι (όπως η τροφή) αυξάνονται αριθμητικά, γεγονός που οδηγεί αναπόφευκτα σε κρίσεις:

«Η δύναμη του πληθυσμού είναι τόσο ανώτερη από τη δύναμη της γης να παράγει τα προς το ζην για τον άνθρωπο, που ο πρόωρος θάνατος πρέπει με τον έναν ή τον άλλον τρόπο να επισκεφθεί την ανθρώπινη φυλή...»

Ο μάλθους έβλεπε την αύξηση του πληθυσμού ως μια δυναμική που οδηγείται σε φυσικούς περιορισμούς, είτε μέσω ασθενειών, είτε μέσω λιμών και πολέμων.

---

Η απάντηση του Verhulst – Η Λογιστική Συνάρτηση

Ο Verhulst προσπάθησε να δώσει ένα πιο ρεαλιστικό μαθηματικό μοντέλο από την απλή εκθετική αύξηση. Η εξίσωση που ανέπτυξε είναι η γνωστή λογιστική εξίσωση:

$$P(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}}$$

όπου:

• $P(t)$: το μέγεθος του πληθυσμού τη χρονική στιγμή $t$,

• $K$: η μέγιστη δυνατή χωρητικότητα (carrying capacity),

• $r$: ο ρυθμός αύξησης,

• $A$: σταθερά που καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες.

Αντί για ανεξέλεγκτη εκθετική αύξηση, η συνάρτηση αυτή προβλέπει ότι ο πληθυσμός φτάνει σε ένα μέγιστο όριο λόγω περιορισμένων πόρων.

---

Η Αμφιλεγόμενη Δεκαετία του 1950

Τη δεκαετία του 1950, η λογιστική συνάρτηση δίχασε την κοινότητα της στατιστικής. Κάποιοι την θεωρούσαν υπερβολικά απλοϊκή για πολύπλοκα κοινωνικά και βιολογικά φαινόμενα, ενώ άλλοι την υιοθετούσαν φανατικά, βλέποντας ότι μπορούσε να περιγράψει τα πάντα, από τη διάδοση ασθενειών μέχρι την ανάπτυξη τεχνολογιών.

---

Εφαρμογές Σήμερα

Η λογιστική συνάρτηση χρησιμοποιείται:

• Στη μελέτη της διάδοσης ιών και επιδημιών,

• Στην οικολογία, για την πρόβλεψη πληθυσμών ζώων,

• Στην οικονομία (π.χ. μοντέλα διάδοσης καινοτομιών),

• Στα social media, για την πρόβλεψη της «κορεσμένης» αύξησης των χρηστών μιας πλατφόρμας.