Μια Εκπληκτική Μαθηματική Ισότητα

Να αποδειχθεί η ισότητα:

Απόδειξη

Έχουμε:$$ \sqrt{\pi^e} = 1 + \frac{\pi^e - 1}{1 + \sqrt{\pi^e}} $$

Θέτουμε $x = \sqrt{\pi^e}$, οπότε $x^2 = \pi^e$.

Από την εξίσωση παίρνουμε διαδοχικά:

$ x = 1 + \dfrac{x^2 - 1}{1 + x} $

$ x = 1 + \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{1 + x} $

Είναι $1 + x \neq 0$ (το οποίο ισχύει, καθώς το $\sqrt{\pi^e}$ είναι θετικός αριθμός, άρα $x > 0$), οπότε απλοποιούμε τον όρο $(1 + x)$ στον αριθμητή και στον παρονομαστή.

$ x = 1 + x-1 $

Έτσι, η αρχική εξίσωση απλοποιείται σε $x = x$, το οποίο ισχύει πάντα.

Συνεπώς, η ισότητα $\sqrt{\pi^e} = 1 + \frac{\pi^e - 1}{1 + \sqrt{\pi^e}}$ είναι $\textbf{αληθής}$.