Ο Ευτόκιος, ο οποίος κατέγραψε λεπτομερώς τη λύση του Αρχύτα για το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, αναφέρει ότι υπήρχε και μία λύση από τον Εύδοξο. Ωστόσο, δεν παραθέτει λεπτομέρειες για αυτήν, θεωρώντας τη πιθανώς λανθασμένη.
Αυτό φαίνεται να αδικεί τον Εύδοξο, καθώς είναι πιθανό ο Ευτόκιος να μην κατανόησε πλήρως τη γεωμετρική του σύλληψη.
Ο Γάλλος ιστορικός της επιστήμης Paul Tannery παρουσίασε μια προσέγγιση, η οποία εικάζεται ότι αντανακλά την (χαμένη) λύση του Ευδόξου. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται σε μια ειδική καμπύλη, γνωστή ως Καμπύλη του Ευδόξου (Kampyle of Eudoxus).
Η εξίσωση της καμπύλης σε πολικές συντεταγμένες είναι:
(1) ρ² = α² / (cosθ)²
Αν παράλληλα θεωρήσουμε και έναν κύκλο με εξίσωση:
(2) ρ = β · sinθ
τότε, στην περίπτωση που β ≥ α, η καμπύλη και ο κύκλος τέμνονται σε ένα σημείο Α. Η τεταγμένη ρ του σημείου τομής προκύπτει από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων (1) και (2). Το αποτέλεσμα αυτής της τομής ικανοποιεί τη σχέση:
(3) ρ³ = 2α³
Αυτό είναι το ζητούμενο στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου!
Αν λοιπόν α είναι η πλευρά του αρχικού κύβου που θέλουμε να διπλασιάσουμε, τότε θέτουμε β = 2α. Η λύση του συστήματος οδηγεί σε τιμή του ρ, τέτοια ώστε το ρ να αποτελεί την πλευρά του νέου, διπλάσιου κύβου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου