Τι είναι οι Διατάξεις στη Συνδυαστική – Απλά Μαθηματικά Παραδείγματα

Διατάξεις: Βασικοί Ορισμοί και Παραδείγματα

Η έννοια της διάταξης (ή παραλλαγής, στα παλαιότερα ελληνικά μαθηματικά συγγράμματα) αναφέρεται στους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να τοποθετήσουμε τα στοιχεία ενός συνόλου με συγκεκριμένη σειρά.

📌 Ορισμός:

Αν έχουμε n διαφορετικά αντικείμενα και θέλουμε να τα τοποθετήσουμε σε σειρά τα r από αυτά, τότε ο αριθμός των δυνατών διατάξεων δίνεται από τον τύπο:

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

Όπου:

• $n!$ είναι το παραγοντικό του $n$, δηλαδή το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το $n$.

• $r$ είναι ο αριθμός των θέσεων που καταλαμβάνουμε.

✅ Ειδική Περίπτωση:

Όταν $r = n$, δηλαδή διατάσσουμε όλα τα στοιχεία, τότε έχουμε:

$$P(n,n)=n!$$

---

🔍 Παραδείγματα:

Παράδειγμα 1:

Πόσες διαφορετικές σειρές μπορούν να σχηματιστούν με τα γράμματα της λέξης ΜΑΘΗΜΑ, αν χρησιμοποιήσουμε όλα τα γράμματα;

👉 Έχουμε 6 γράμματα, αλλά το Μ εμφανίζεται δύο φορές.
Άρα, επειδή υπάρχει επανάληψη, ο αριθμός των διατάξεων είναι:

$$\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$$

---

Παράδειγμα 2:

Από 10 μαθητές, πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν να καθίσουν σε 4 θέσεις στη σειρά;

$$P(10,4)=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!}=5040$$

---

🧠 Παρατήρηση:

Στις διατάξεις, η σειρά παίζει ρόλο. Αν τοποθετήσουμε τα ίδια αντικείμενα με διαφορετική σειρά, τότε προκύπτει διαφορετική διάταξη.

---

➕ Σημείωση για Επαναλήψεις:

Αν κάποιο αντικείμενο επαναλαμβάνεται, όπως στο παράδειγμα με το ΜΑΘΗΜΑ, τότε διαιρούμε με το παραγοντικό της συχνότητας κάθε επαναλαμβανόμενου στοιχείου.