🌀 Η Σπείρα του Αρχιμήδη – Ένα Αριστούργημα της Κλασικής Γεωμετρίας

Η Σπείρα του Αρχιμήδη είναι μια επίπεδη, υπερβατική καμπύλη της οποίας η εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες δίνεται από τον τύπο:

ρ = aϕ

Όπου a είναι μια σταθερά και ϕ η γωνία (σε ακτίνια). Η σπείρα αυτή περιγράφεται από ένα σημείο M που κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε ευθεία d, η οποία περιστρέφεται γύρω από σημείο O το οποίο ανήκει στην ίδια την ευθεία.

🎯 Γεωμετρική Ερμηνεία

Στην αρχή της κίνησης, το σημείο M συμπίπτει με το κέντρο περιστροφής O. Καθώς η ευθεία περιστρέφεται και το σημείο κινείται επάνω της, σχηματίζεται η χαρακτηριστική σπειροειδής καμπύλη.

Η σπείρα του Αρχιμήδη διαφέρει από τη λογαριθμική σπείρα επειδή η απόσταση ανάμεσα στις διαδοχικές στροφές είναι σταθερή — ένα καθοριστικό χαρακτηριστικό της.

📏 Μήκος Τόξου

Το μήκος τόξου l μεταξύ δύο σημείων M₁(ρ₁, ϕ₁) και M₂(ρ₂, ϕ₂) δίνεται από τον τύπο:

\( l = \dfrac{a}{2} \left[ \sqrt{\varphi_1^2 + 1} + \sqrt{\varphi_2^2 + 1} + \ln\left( \varphi_2 + \sqrt{\varphi_2^2 + 1} \right) - \ln\left( \varphi_1 + \sqrt{\varphi_1^2 + 1} \right) \right] \)

🟠 Εμβαδό Τομέα

Το εμβαδό S του τομέα που ορίζεται από τις δύο ακτίνες ρ₁ και ρ₂ (αντιστοιχώντας στις γωνίες ϕ₁ και ϕ₂) είναι:

\( S = \dfrac{\rho_2^3 - \rho_1^3}{3a} \)

🧩 Παραλλαγές και Γενικεύσεις

Η σπείρα του Αρχιμήδη ανήκει στην κατηγορία των αλγεβρικών σπειρών. Μια γενίκευσή της είναι η λεγόμενη νεοειδής καμπύλη (neoid), με εξίσωση:

ρ = aϕ + l

📜 Ιστορικά Στοιχεία

Η σπείρα μελετήθηκε τον 3ο αιώνα π.Χ. από τον μεγάλο Έλληνα μαθηματικό Αρχιμήδη και πήρε το όνομά της προς τιμήν του. Αποτελεί ένα από τα πρώτα παραδείγματα χρήσης της ανάλυσης για τον υπολογισμό επιφανειών και όγκων, με μεθόδους που προανάγγειλαν τον απειροστικό λογισμό.

🔗 Πηγές

• A.A. Savelov, Planar Curves, Moscow, 1960
• E.H. Lockwood, A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961